为了更正式地陈述这些观点，我们引入常用的符号逻辑或布尔代数，因为乔治·布尔（GeorgeBoole，1854）引入了类似于如下的符号。当然，演绎逻辑本身的原理在布尔之前几个世纪就已经被很好的理解了，而且我们将会看到，布尔代数的所有结果都是都可看成是合情推理规则(1812)一个特例.符号:

称为逻辑的积或相交,表示命题"A和B都为真".显然两个命题的顺序无关紧要,AB和BA说的是同一件事.下面的表达式:

称为逻辑的和或并集,表达了"至少有一个命题,A,B为真",其意义和B+A一样.这些符号只是为了方便书写命题的缩写形式,并不表示具体的数值.

给定两个命题A和B，当且仅当另一个为真时另一个也为真,我们说它们有相同的真值。这可能是一个简单的循环逻辑（即A和B是一件事情的两种语言表达），也可能在经过复杂的数学证明A是B的必要和充分的条件。从逻辑的角度看是哪一种并不重要,一旦以任何方式确定了A和B具有相同的真值，那么它们在逻辑上就是等价的命题，对任何与一个命题相关的证据也与另一个相关，对于任何进一步的推理都蕴含同样的含义。

显而易见的，在合情推理中,具有相同真值的两个命题有相等的可信度是最基本的公理。这可能太过显然而不值一提，但是布尔本人（布尔，1854年，第286页）却在这一点上犯过错误，他错误地认为两个事实上是不同的命题是相同的，但在两个命题有不相等的可信度时却没看出其中的矛盾。三年后，布尔（1857）才在他早期的书中修正了这个问题。对这一事件的进一步评论见凯恩斯（1921年，第167-168页),Jaynes（1976，第240-242页）。

在布尔代数中，等号不是表示数值相等，而是真值相同：A = B，此布尔代数中的等式表示的是,断言等式左侧的命题与右侧的命题有相同的真值。符号“≡”和通常一样表示“定义上等价”。

在表示复杂的命题时，和普通代数一样的方式使用括号，即表示命题结合的顺序（有时候我们也将它们用于表达的清晰度，虽然它们不是绝对必要的）。在没有括号时，和代数运算有优先级一样,AB+C表示(AB)+C而不是A(B+C)。

命题的否定用一个在上面的横线表示:

A和A之间是相关关系:

带横线和不带横线的A在等式那边都是一样的.注意横线的可能引起歧义的情况,按照上面的有,

这是两个完全不同的命题,AB不是逻辑乘法AB,而是逻辑加法AB = A + B.

在上述规定下, 布尔代数的性质由一些基本的显而易见的等式组成:

[[images/formula-1.12.png]] 应用这些等式,我们就可以证明更多的逻辑关系,包括那些十分复杂的.例如,下面就使用了基本原理:

蕴含着命题

读作A蕴涵B,这不是在断言A或B为真,仅仅是说AB为假,等价于(A+B)为真.这也可以写成逻辑等式A=AB.即给定(1.14),如果A为真那么B必为真,或者如果B为假那么A必为假.这正是强三段论 (1.1)和(1.2)所表述的.

On the other hand, if A is false, (1.14) says nothing about B: and if B is true, (1.14) says nothing about A. But these are just the cases in which our weak syllogisms (1.3), (1.4) do say something. In one respect, then, the term ‘weak syllogism’ is misleading. The theory of plausible reasoning based on weak syllogisms is not a ‘weakened’ form of logic; it is an extension of logic with new content not present at all in conventional deductive logic. It will become clear in the next chapter (see (2.69) and (2.70)) that our rules include deductive logic as a special case. 另一方面，如果A是假的(1.14)没有指出B该如何,如果B是真的(1.14)则没有指出A该如何。但弱三段论（1.3）和（1.4）却对此有所表述.从某个角度看,“弱三段论”这说法是有一定误导性的。 基于弱三段论的合理推理理论并不是一种“弱化”的逻辑形式,它是逻辑的一种扩展，增加了在传统的演绎逻辑中根本不存在的新内容。 在下一章（见（2.69）和（2.70））中将会更清楚，演绎逻辑是合情推理的一个特殊情况。